Question

18．已知双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}={1^{\;}}（{a＞b＞0}）$右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥FB，设∠ABF=θ且$θ∈（{\frac{π}{12}，\frac{π}{4}}）$，则双曲线离心率的取值范围是（　　）

• A． $（{\sqrt{2}，2}]$
• B． $（{1，\sqrt{2}}]$
• C． $（{\sqrt{2}，+∞}）$
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 作出对应的图象，设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′．则四边形AFBF′为矩形．因此|AB=|FF′|=2c．|AF|=2csinθ，|BF|=2ccosθ．可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{cosθ-sinθ}$=$\frac{1}{\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）}$，求出即可．

解答 解：如图所示，设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′．
∵AF⊥FB，∴四边形AFBF′为矩形．
因此|AB=|FF′|=2c．
则|AF|=2csinθ，|BF|=2ccosθ．
∵|AF′|-|AF|=2a．
∴2ccosθ-2csinθ=2a．
即c（cosθ-sinθ）=a，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{cosθ-sinθ}$=$\frac{1}{\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）}$，
∵$θ∈（{\frac{π}{12}，\frac{π}{4}}）$，
∴$θ+\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），
则cos（$θ+\frac{π}{4}$）∈（0，$\frac{1}{2}$），
$\sqrt{2}$cos（$θ+\frac{π}{4}$）∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
则$\frac{1}{\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）}$$＞\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$，
即e＞$\sqrt{2}$，
故双曲线离心率的取值范围是$（{\sqrt{2}，+∞}）$，
故选：C

点评 本题考查了双曲线的定义及其性质、两角差的余弦公式、余弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，注意利用数形结合进行求解．