Question

7．已知函数$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最小值及取最小值时相应的x值；
（3）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期等于$\frac{2π}{ω}$，得出结论．
（2）利用正弦函数的值域求得函数的最小值为-2，再根据2x+$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，求得x的值，可得函数取得最小值时相应的x值．
（3）利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）∵$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$，∴$T=\frac{2π}{2}=π$，即函数f（x）的最小正周期是π．
（2）令$t=2x+\frac{π}{3}$，使函数f（t）=2sint，t∈R取得最小值的t的集合是$\{t|t=-\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z\}$．
由 2x+$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，求得 $x=kπ-\frac{5π}{12}，k∈Z$．
因此函数$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$的最小值为-2，此时x的取值集合是$\{x|x=kπ-\frac{5π}{12}，k∈Z\}$．
（3）由   $-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，求得  $kπ-\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12}，k∈Z$．
所以，函数$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$的单调递增区间是$[kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}]（k∈Z）$．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性、最值、以及单调性，属于基础题．