Question

已知三棱锥O-ABC的顶点O（0，0，0），A，B，C三点分别在x轴、y轴、z轴上，且|OA|=2|OB|=3|OC|=6，求AC边长的中线长．

Answer 1

考点：空间向量的夹角与距离求解公式

专题：空间向量及应用

分析：由已知得|OA|=6，|OB|=3，|OC|=2，设D是AC的中点，所求中线长为|BD|，由A，B，C三点分别在x轴、y轴、z轴的正、负半轴，分8种情况进行讨论，由此能求出AC边长的中线长．

解答： 解：∵三棱锥O-ABC的顶点O（0，0，0），
A，B，C三点分别在x轴、y轴、z轴上，且|OA|=2|OB|=3|OC|=6，
∴|OA|=6，|OB|=3，|OC|=2，
设D是AC的中点，所求中线长为|BD|，
①若A（6，0，0），B（0，3，0），C（0，0，2），
则D（3，0，1），∴|BD|=

9+9+1

=

19

；
②若A（6，0，0），B（0，3，0），C（0，0，-2），
则D（3，0，-1），∴|BD|=

9+9+1

=

19

；
③若A（6，0，0），B（0，-3，0），C（0，0，2），
则D（3，0，1），∴|BD|=

9+9+1

=

19

；
④若A（-6，0，0），B（0，-3，0），C（0，0，-2），
则D（-3，0，1），∴|BD|=

9+9+1

=

19

；
⑤若A（6，0，0），B（0，3，0），C（0，0，-2），
则D（3，0，-1），∴|BD|=

9+9+1

=

19

；
⑥若A（-6，0，0），B（0，-3，0），C（0，0，-2），
则D（-3，0，-1），∴|BD|=

9+9+1

=

19

；
⑦若A（-6，0，0），B（0，-3，0），C（0，0，2），
则D（-3，0，1），∴|BD|=

9+9+1

=

19

；
⑧若A（-6，0，0），B（0，-3，0），C（0，0，-2），
则D（-3，0，1），∴|BD|=

9+9+1

=

19

．
综上，AC边长的中线长为

19

．

点评：本题考查三角形的一条中线长的求法，是基础题，解题时要注意空间两点间距离公式和分类讨论思想的合理运用．