Question

已知g（x）=mx，G（x）=lnx．
（1）若f（x）=G（x）-x+1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若G（x）+x+2≤g（x）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求出函数f（x）的表达式，通过求导得到函数的单调区间；
（2）将问题转化为m-1≥

lnx+2

x

在（0，+∞）恒成立，令h（x）=

lnx+2

x

（x＞0），求出h（x）的最大值，从而求出m的范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx-x+1，（x＞0），
∴f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；
（2）G（x）+x+2≤g（x）恒成立，
即lnx+x+2≤mx在（0，+∞）恒成立，
∴m-1≥

lnx+2

x

在（0，+∞）恒成立，
令h（x）=

lnx+2

x

（x＞0），
∴h′（x）=-

lnx+1

x2

，
令h′（x）＞0，解得：0＜x＜

1

e

，
令h′（x）＜0，解得：x＞e，
∴h（x）在（0，

1

e

）递增，在（

1

e

，+∞）递减，
∴h（x）_max=h（

1

e

）=e，
∴m-1≥e，
∴m≥e+1．

点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了函数恒成立问题，考查了转化思想，导数的应用，是一道中档题．