Question

已知正项数列{a_n}满足a₁=

1

2

，且a_n+1=

an

1+an

，则数列{a_n}的通项公式为

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件利用递推思想求出数列的前4项，由此猜想：a_n=

1

n+1

．再用数学归纳法证明．

解答： 解：∵正项数列{a_n}满足a₁=

1

2

，且a_n+1=

an

1+an

，
∴由题意得a₁=

1

2

，a₂=

1

3

，a₃=

1

4

，a₄=

1

5

，…
以此类推，猜想：a_n=

1

n+1

．
用数学归纳法证明：
①n=1时，a1=

1

2

，显然猜想成立；
②设n=k时也成立，即有a_k=

1

k+1

，
由题意可得：
a_k+1=

ak

1+ak

=

1 k+1

1+ 1 k+1

=

1

(k+1)+1

，
∴猜想成立
∴an=

1

n+1

．
故答案为：an=

1

n+1

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．