题目内容
已知对任意平面向量
=（x，y），把
绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量
=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P．
（1）已知平面内点A（1，2），点B（1+
，2-2
）．把点B绕点A沿逆时针旋转
后得到点P，求点P的坐标；
（2）设平面内直线l上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向旋转
后得到的点组成的直线方程是l′：y=-
x+1，求原来的直线l方程．
| AB |
| AB |
| AP |
（1）已知平面内点A（1，2），点B（1+
| 2 |
| 2 |
| π |
| 4 |
（2）设平面内直线l上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向旋转
| π |
| 4 |
| 3 |
考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用,直线与圆
分析：（1）直接根据题目定义求解即可；
（2）设直线l上的任意一点M（x，y），将M绕坐标原点沿逆时针方向旋转
后得到点N，则
=（xcos
-ysin
，xsin
+ycos
），代入直线方程是l′：y=-
x+1，即可求出直线l方程．
（2）设直线l上的任意一点M（x，y），将M绕坐标原点沿逆时针方向旋转
| π |
| 4 |
| ON |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3 |
解答：
解：（1）∵点A（1，2），点B（1+
，2-2
），
∴
=（
，-2
），
∵点B绕点A沿逆时针旋转
后得到点P
∴由题意可知，
=(
cos
+2
sin
，
sin
-2
cos
)
=（3，-1）．
∴点P的坐标为（3+1，-1+2）=（4，1）；
（2）设直线l上的任意一点M（x，y），
旋转后的得到
，
则
=（xcos
-ysin
，xsin
+ycos
）
=(
(x-y)，
(x+y))，
∴点N的坐标为(
(x-y)，
(x+y))，
代入直线方程是l′：y=-
x+1得，
(x+y)=-
•
(x-y)+1
化简得y=(2+
)x-
．
| 2 |
| 2 |
∴
| AB |
| 2 |
| 2 |
∵点B绕点A沿逆时针旋转
| π |
| 4 |
∴由题意可知，
| AP |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2 |
| π |
| 4 |
=（3，-1）．
∴点P的坐标为（3+1，-1+2）=（4，1）；
（2）设直线l上的任意一点M（x，y），
| OM |
| ON |
则
| ON |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
=(
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
∴点N的坐标为(
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
代入直线方程是l′：y=-
| 3 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| ||
| 2 |
化简得y=(2+
| 3 |
| ||||
| 2 |
点评：本题主要考查向量坐标表示的应用，以及代入法求直线方程．属于中档题．
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