题目内容
已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）．
（1）若（2
-
）⊥
，求cos2α；
（2）若|
+
|=
，且α∈（0，π），求
，
夹角的大小．
（1）若（2
| OA |
| OB |
| OC |
（2）若|
| OA |
| OC |
| 13 |
| OB |
| OC |
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
专题：平面向量及应用
分析：（1）利用向量垂直与数量积的关系可得2
•
=
•
，再利用向量的坐标运算、三角函数基本关系式、倍角公式即可得出；
（2）利用向量模的计算公式、向量夹角公式即可得出．
| OA |
| OC |
| OB |
| OC |
（2）利用向量模的计算公式、向量夹角公式即可得出．
解答：
解：（1）∵（2
-
）⊥
，∴（2
-
）•
=0，∴2
•
=
•
，
∴6cosα=3sinα，∴tanα=2，
cos2α=cos2α-sin2α=
=-
．
(2)∵|
+
|=
，∴(
+
)2=10+6cosα=13，
∴cosα=
，又α∈(0，π)，∴α=
．
•
=3sinα=
，|
|=3，|
|=1．
∴cosα=
，α∈[0，π]，∴α=
．
| OA |
| OB |
| OC |
| OA |
| OB |
| OC |
| OA |
| OC |
| OB |
| OC |
∴6cosα=3sinα，∴tanα=2，
cos2α=cos2α-sin2α=
| 1-tan2α |
| 1+tan2α |
| 3 |
| 5 |
(2)∵|
| OA |
| OC |
| 13 |
| OA |
| OC |
∴cosα=
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| OB |
| OC |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| OB |
| OC |
∴cosα=
| ||
| 2 |
| π |
| 6 |
点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的坐标运算、三角函数基本关系式、倍角公式、向量模的计算公式、向量夹角公式等基础知识与基本技能方法，属于基础题．
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