Question

某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x（百台），其总成本为g（x）万元（总成本=固定成本+生产成本），并且销售收人r（x）满足r（x）=

-0.5x2+7x-10.5  (0≤x≤7) 13.5  (x＞7)

假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：
（Ⅰ）要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？
（Ⅱ）工厂生产多少台产品时盈利最大？

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（I）依题意得g（x）=x+3，设利润函数为f（x），根据f（x）=r（x）-g（x），可得f（x）=

-0.5x2+6x-13.5，0≤x≤7 10.5-x，x＞7

，要使工厂有盈利，则有f（x）＞0，解不等式可得结论；
（Ⅱ）分段求出函数的最值，比较可得结论．

解答： 解：依题意得g（x）=x+3，设利润函数为f（x），则f（x）=r（x）-g（x），
所以f（x）=

-0.5x2+6x-13.5，0≤x≤7 10.5-x，x＞7

（2分）
（I）要使工厂有盈利，则有f（x）＞0，
所以

0≤x≤7 -0.5x2+6x-13.5＞0

或

x＞7 10.5-x＞0

，（4分）
所以3＜x＜10.5．（7分）
所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内．（8分）
（II）当3＜x≤7时，f（x）=-0.5（x-6）²+4.5
故当x=6时，f（x）有最大值4.5．（10分）
而当x＞7时，f（x）＜10.5-7=3.5．
所以当工厂生产600台产品时，盈利最大． （12分）

点评：本题给出工厂生产的实际应用问题，求最大盈利时的产量x值，着重考查了基本初等函数的单调性、不等式的解法和用函数知识解决实际应用问题等知识，属于中档题．