题目内容
已知a，b，c>0，求证：a3＋b3＋c3≥
(a2＋b2＋c2)·(a＋b＋c)．
证明：∵a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)，又a，b>0，
∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)，
∴a3＋b3＋a2b＋ab2≥2ab(a＋b)＝2a2b＋2ab2，
∴a3＋b3≥a2b＋ab2.
同理，b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2，
将三式相加得，
2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2，
∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)，
∴a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．
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