Question

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\frac{{4sinA-\sqrt{7}cosC}}{c}=\frac{{\sqrt{7}cosB}}{b}$．
（1）求sinB的值；
（2）若a，b，c成等差数列，且公差大于0，求cosA-cosC的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理以及三角恒等变换，即可求出sinB的值；
（2）由等差数列和正弦定理，列出方程组即可求出cosA-cosC的值．

解答 解：（1）△ABC中，由$\frac{{4sinA-\sqrt{7}cosC}}{c}=\frac{{\sqrt{7}cosB}}{b}$，
根据正弦定理得，（4sinA-$\sqrt{7}$cosC）sinB=$\sqrt{7}$cosBsinC
4sinAsinB=$\sqrt{7}$cosBsinC+$\sqrt{7}$sinBcosC
即$4sinBsinA=\sqrt{7}sinA$，
所以$sinB=\frac{{\sqrt{7}}}{4}$；       （5分）
（2）由已知和正弦定理以及（1）得$sinA+sinC=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，①
设cosA-cosC=x，②
①²+②²，得$2-2cos（A+C）=\frac{7}{4}+{x^2}$；    ③（7分）
又a＜b＜c，A＜B＜C，
所以0°＜B＜90°，cosA＞cosC，
故$cos（A+C）=-cosB=-\frac{3}{4}$；   （10分）
代入③式得${x^2}=\frac{7}{4}$；
因此$cosA-cosC=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$．  （12分）

点评 本题考查了正弦定理以及三角恒等变换和等差数列的应用问题，是综合性题目．