Question

已知函数f（x）=2^x+2^ax+b，且f（-1）=

5

2

，f（0）=2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式并判断奇偶性；
（Ⅱ）若f（x）=

65

8

，求x的值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（ I）由条件列出方程组，解出a，b，即可得到f（x）的解析式，再求定义域，计算f（-x），与f（x）比较，即可判断奇偶性；
（II）设2^x=t（t＞0），则有t+

1

t

=

65

8

，解出t，再运用指数函数的性质，即可得到x．

解答： 解：（ I）已知得

5 2 =2-1+2-a+b 2=1+2b.

解得：

a=-1 b=0.

，
则f（x）=2^x+2^-x．
显然函数f（x）的定义域为R，
由f（-x）=2^-x+2^x=f（x），
所以函数f（x）为偶函数；
（II）设2^x=t（t＞0），则有t+

1

t

=

65

8

，
即

t2+1

t

=

65

8

，解得t=8或

1

8

，
即2^x=8或

1

8

，
即有x=3或x=-3．

点评：本题考查函数的奇偶性的判断和函数的解析式的求法，同时考查指数函数的性质，考查运算能力，属于中档题．