Question

等差数列{a_n}中，a₁=1，前n项和S_n满足条件

S2n

Sn

=

4n+2

n+1

(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；  
（2）记b_n=a_n2^a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）把n=1代入

S2n

Sn

=

4n+2

n+1

求出a₂，再求出公差d的值，代入等差数列的通项公式求出a_n；
（2）由（1）和题意求出b_n，利用错位相减法求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）由题意得，

S2n

Sn

=

4n+2

n+1

(n∈N*)，a₁=1
当n=1时，

a1+a2

a1

=

S2

S1

=3，所以a₂=2，
即公差d=a₂-a₁=1，所以a_n=n------------------------（6分）
（2）由（1）得，bn=an2an=n•2n，
所以Tn=2+2•22+3•23+…+(n-1)2n-1+n•2n，----------（8分）
2Tn=22+2•23+3•24+…+(n-1)2n+n•2n+1，
则(1-2)Tn=2+22+23+…+2n-1+2n-n2n+1
=

2(1-2n)

1-2

-n2n+1=(1-n)2n+1-2------（10分）
即Tn=(n-1)2n+1+2．-------------------（12分）

点评：本题考查了等差数列的通项公式，以及错位相减法求数列的前n项和，属于中档题．