Question

已知等比数列{a_n}的首项a₁=-

1

2

，其前四项恰是方程（x²+mx+2）（x²+nx+2）=0的四个根，则m+n=

 

．

Answer 1

考点：等比数列的性质,函数的零点与方程根的关系,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：由等比数列的性质和韦达定理可得a₁=-

1

2

，a₄=-4，进而可得公比q=2，可得a₂=-1，a₃=-2，再由韦达定理可得m和n的值，相加可得．

解答： 解：∵方程（x²+mx+2）（x²+nx+2）=0的四个根
是由x²+mx+2=0和x²+nx+2=0的根构成的，
不妨设首项a₁=-

1

2

为x²+mx+2=0的一根，
则由韦达定理可得另一根为a₄=-4，
由等比数列的性质可得x²+nx+2=0的两根分别为a₂，a₃，
∴公比q=

3	-4 - 1 2

=2，∴a₂=-1，a₃=-2，
再由韦达定理可得-

1

2

-4=-m，-1-2=-n，
∴m=

9

2

，n=3，∴m+n=

15

2

故答案为：

15

2

．

点评：本题考查等比数列的通项公式和性质，涉及韦达定理，属中档题．