Question

已知函数f（x）=lg（x+

1+x2

）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）求f（x）的单调区间并证明．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由x+

1+x2

＞0，求得x∈R，可得函数的定义域．
（2）由于函数的定义域关于原点对称，且满足f（-x）=-f（x），可得函数f（x）为奇函数．
（3）令t=x+

1+x2

，本题即求函数t的单调区间，再根据t′=

1+x2 +x

1+x2

＞0，可得函数t在R上是增函数，从而得出结论．

解答： 解：（1）由x+

1+x2

＞0，可得x∈R，故函数的定义域为R．
（2）由于函数的定义域关于原点对称，且满足f（-x）=lg（-x+

1+x2

）=lg

1

x+ 1+x2

=-lg（x+

1+x2

）=-f（x），
故函数f（x）为奇函数．
（3）令t=x+

1+x2

，则f（x）=lgt，故本题即求函数t的单调区间．
由于t′=1+

x

1+x2

=

1+x2 +x

1+x2

＞0，故函数t在R上是增函数，故f（x）在R上是增函数，即f（x）的增区间为R．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，函数的奇偶性和单调性，体现了转化的数学思想，属于基础题．