Question

如图1，在直角梯形中，，.把沿折起到的位置，使得点在平面上的正投影恰好落在线段上，如图2所示，点分别为棱的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）求证：平面；
（3）若，求四棱锥的体积.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析.（3）.

试题分析：（1）因为点在平面上的正投影恰好落在线段上，
所以平面，；
由，知是中点，得到，；
同理；
根据，得到平面平面.
（2）根据，得到
再平面，平面，得到；
即可得到平面.
（3）由已知可得，
利用等边三角形得到高，即点到平面的距离为，根据是的中点，得到到平面的距离为应用体积公式计算.
试题解析：（1）因为点在平面上的正投影恰好落在线段上
所以平面，所以                        1分
因为，
所以是中点，                    2分
所以 ，
所以                          3分
同理
又
所以平面平面             5分
（2）因为，
所以
又平面，平面
所以                7分
又
所以平面             8分
（3）因为，，所以，而点分别是的中点，所以，                10分
由题意可知为边长为5的等边三角形，所以高，         11分
即点到平面的距离为，又为的中点，所以到平面的距离为，故.          12分