Question

12．集合$\left\{{z\left|{z={i^n}+\frac{1}{i^n}}\right.}\right.，n∈{N^*}\left.{\;}\right\}$中的元素个数是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 无穷多个

Answer 1

分析 根据题意，由虚数单位i的性质，分别令n=4k、4k+1、4k+2、4k+3，求出Z的值，可得集合$\left\{{z\left|{z={i^n}+\frac{1}{i^n}}\right.}\right.，n∈{N^*}\left.{\;}\right\}$={2，-2，-1+i，1-i}；分析可得答案．

解答 解：根据题意，
当n=4k时，i^4k=1，Z=1+$\frac{1}{1}$=2，
当n=4k+1时，i^4k+1=i，Z=i+$\frac{1}{i}$=-1+i，
当n=4k+2时，i^4k+2=-1，Z=-1+$\frac{1}{-1}$=-2，
当n=4k+3时，i^4k+1=-i，Z=（-i）+$\frac{1}{（-i）}$=1-i，
即集合$\left\{{z\left|{z={i^n}+\frac{1}{i^n}}\right.}\right.，n∈{N^*}\left.{\;}\right\}$={2，-2，-1+i，1-i}；有4个元素；
故选：C．

点评 本题考查复数的计算以及虚数单位i的性质，涉及集合的表示方法，关键是依据虚数单位的意义，计算出Z的值．