Question

20．已知数列{a_n}满足：na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n=2ⁿ．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数p，q，r （p＜q＜r），使a_p，a_q，a_r成等差数列，若存在，求出p，q，r的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先计算a₁，a₂，令n=n-1得出式子，两式相减得出a₁+a₂+…+a_n=2^n-1（n≥2），再令n=n-1，两式再相减得出a_n；
（2）对p的取值范围进行讨论，计算a_r+a_p与2a_q进行比较大小得出结论．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=2，
∵na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n=2ⁿ，∴（n-1）a₁+（n-2）a₂+…+a_n-1=2^n-1（n≥2），
两式相减得：a₁+a₂+…+a_n=2^n-1．（n≥2）
当n=2，a₁+a₂=2，∴a₂=0，
当n≥3时，a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=2^n-2（n≥3），
两式相减得：a_n=2^n-2（n≥3），
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{0，n=2}\\{{2}^{n-2}，n≥3}\end{array}\right.$．
（2）当p≥3时，a_p=2^p-2，a_q=2^q-2，a_r=2^r-2=2•2^r-3=2a_r-1，
∴a_r+a_p＞a_r=2 a_r-1≥2a_q，
∴不存在正整数p，q，r （p＜q＜r），使a_p，a_q，a_r成等差数列；
当p=2时，a_p=0，a_r+a_p=2 a_r-1≥2a_q，当且仅当r-1=q时取等号，
当p=1，q≥3，r≥4时，a_r=2a_r-1，a_r+a_p＞2 a_r-1≥2a_q，
∴不存在正整数p，q，r （p＜q＜r），使a_p，a_q，a_r成等差数列，
综上，存在正整数p，q，r （p＜q＜r），使a_p，a_q，a_r成等差数列，
此时p=2，r=q+1．

点评 本题考查了数列通项公式的计算，等差数列的性质与判断，属于中档题．