Question

5．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{6}$cos2x-tcosx．若其导函数f'（x）在R上单调递增，则实数t的取值范围为（　　）

• A． $[-1，-\frac{1}{3}]$
• B． $[-\frac{1}{3}，\frac{1}{3}]$
• C． [-1，1]
• D． $[-1，\frac{1}{3}]$

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导数f′（x）=x-$\frac{1}{3}$sin2xt+tsinx在R上单调递增可转化为f″（x）=-$\frac{4}{3}$cos²x+tcosx+$\frac{5}{3}$≥0，在R上恒成立，利用分离参数法即可求解．

解答 解：f′（x）=x-$\frac{1}{3}$sin2xt+tsinx在R上单调递增，
即f″（x）=-$\frac{4}{3}$cos²x+tcosx+$\frac{5}{3}$≥0，在R上恒成立，
令m=cosx，m∈[-1，1]，-$\frac{4}{3}$m²+tm+$\frac{5}{3}$≥0⇒tm≥$\frac{4}{3}$m²-$\frac{5}{3}$，
当m=0时，成立；当m∈（0，1]时，t≥$\frac{4}{3}$m-$\frac{5}{3m}$，
函数g（m）=$\frac{4}{3}$m-$\frac{5}{3m}$在（0，1]上是增函数，
∴t≥g（1）=-$\frac{1}{3}$；当m∈[-1，0）时，t≤$\frac{4}{3}$m-$\frac{5}{3m}$，
∵函数g（m）=$\frac{4}{3}$m-$\frac{5}{3m}$在[-1，0（上是增函数，t≤g（-1）=$\frac{1}{3}$，
综上则实数t的取值范围为[-$\frac{1}{3}，\frac{1}{3}$]．
故选B．

点评 本题考查了三角函数的变形以及由函数单调性的性质求参数的范围．