Question

2．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x₁，x₂，都有$\frac{{{x_2}f（{x_1}）-{x_1}f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜0，记a=25f（0.2²），b=f（1），c=-log₅3×f（log${\;}_{\frac{1}{3}}}$5），则（　　）

• A． c＜b＜a
• B． b＜a＜c
• C． c＜a＜b
• D． a＜b＜c

Answer 1

分析 设g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，利用对任意两个不相等的正数x₁，x₂，都有$\frac{{{x_2}f（{x_1}）-{x_1}f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜0，可得g（x）在（0，+∞）上单调递减，分别化简a，b，c，即可得出结论．

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，∵对任意两个不相等的正数x₁，x₂，都有$\frac{{{x_2}f（{x_1}）-{x_1}f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∵a=25f（0.2²）=g（0.2²），b=f（1）=g（1），c=-log₅3×f（log${\;}_{\frac{1}{3}}}$5）=g（log${\;}_{\frac{1}{3}}}$5），log${\;}_{\frac{1}{3}}}$5＜0＜0.2²＜1，
∴c＞a＞b．
故选：B．

点评 本题考查大小比较，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，正确构造函数是关键．