Question

17．已知函数f（x）的定义域为R．?a，b∈R，若此函数同时满足：
①当a+b=0时，有f（a）+f（b）=0；
②当a+b＞0时，有f（a）+f（b）＞0，
则称函数f（x）为Ω函数．
在下列函数中：
①y=x+sinx；
②y=3^x-（$\frac{1}{3}$）^x；
③y=$\left\{\begin{array}{l}{0，x=0}\\{-\frac{1}{x}，x≠0}\end{array}\right.$
是Ω函数的为①②．（填出所有符合要求的函数序号）

Answer 1

分析 容易判断函数①②为奇函数，且在定义域R上为增函数，可设y=f（x），容易得出这两函数满足Ω函数的两条，而函数③是奇函数，不是增函数，这样显然不能满足Ω函数的第②条，这样即可找出为Ω函数的函数序号．

解答 解：容易判断①②③都是奇函数；
y′=1-cosx≥0，y′=ln3（3^x+3^-x）＞0；
∴①②都在定义域R上单调递增；
③在定义域R上没有单调性；
设y=f（x），从而对于函数①②：a+b=0时，a=-b，f（a）=f（-b）=-f（b）；
∴f（a）+f（b）=0；
a+b＞0时，a＞-b；
∴f（a）＞f（-b）=-f（b）；
∴f（a）+f（b）＞0；
∴①②是Ω函数；
对于函数③，a+b＞0时，得到a＞-b；
∵f（x）不是增函数；
∴得不到f（a）＞f（-b），即得不出f（a）+f（b）＞0．
故答案为：①②．

点评 考查奇函数的定义，会判断一个函数是否为奇函数，根据导数符号判断函数单调性的方法，函数单调性的运用，反比例函数的单调性，函数单调性定义．