题目内容

已知F1，F2分别为椭圆
x2
a2
+
y2
a2-1
=1（a＞1）的左、右两个焦点，一条直线l经过点F1与椭圆交于A、B两点，且△ABF2的周长为8．
（1）求实数a的值；
（2）若l的倾斜角为
π
4
，求|AB|的值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）利用椭圆的定义以及三角形的周长，直接求实数a的值；
（2）利用（1）求出椭圆的方程，通过l的倾斜角为
π
4
，求出直线的方程，联立方程组，法一：利用弦长公式即可求|AB|的值．法二：可以利用两点间距离公式求解距离．
解答： 解：由椭圆的定义，得|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，…（2分）
又|AF1|+|BF1|=|AB|，
所以△ABF2的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=4a．          …（4分）
又因为△ABF2的周长为8，所以4a=8，则a=2．     …（5分）
（2）由（1）得，椭圆
x2
4
+
y2
3
=1，F1（-1，0），…（7分）
因为直线l的倾斜角为
π
4
，所以直线l斜率为1，
故直线l的方程为y=x+1．                      …（8分）
由
y=x+1
x2
4
+
y2
3
=1
消去y，得7x2+8x-8=0，…（9分）
（法一：|AB|=
(x2-x1)2+(y2-y1)2
=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1•x2]
=
24
7
）
法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），解得，x1=
-4+6
2
7
，x2=
-4-6
2
7
…（10分）
所以y1=
3+6
2
7
，y2=
3-6
2
7

则|AB|=
(x2-x1)2+(y2-y1)2
=
(
12
2
7
)2+(
12
2
7
)2
=
24
7
…（12分）
点评：本题考查椭圆方程的求法在与椭圆的位置关系，弦长公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系xOy中，P为不等式
y≤1
x+y-2≥0
x-y-1≤0
所表示的平面区域上一动点，则直线OP斜率的最大值为（　　）
A、2
B、1
C、
1
2
D、
1
3
如图，点P（0，-1）是椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中斜率为k的直线l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D
（1）求椭圆C1的方程；
（2）试用k表示△ABD的面积S；
（3）求△ABD面积S取最大值时直线l1的方程．
已知抛物线y2=4x的焦点是F，准线是l，过焦点的直线与抛物线交于不同两点A，B，直线OA（O为原点）交准线l于点M，设A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）求证：y1y2是一个定值；
（2）求证：直线MB平行于x轴．
设z=2y-2x+4，式中x，y满足条件
0≤x≤1
0≤y≤2
2y-x≥1
，求z的最大值和最小值．
给定曲线Γ：（5-m）x2+（m-2）y2=8，（m∈R）．
（1）若曲线Γ是焦点为F1（-2，0），F2（2，0）的双曲线，求实数m的值；
（2）当m=4时，记M是椭圆Γ上的动点，过椭圆长轴的端点A作AQ∥QM（O为坐标原点），交椭圆于Q，交y轴于P，求
AQ•AP
OM2
的值．
已知直角坐标平面内点A（x，y）到点F1（-1，0）与点F2（1，0）的距离之和为4．
（1）试求点A的轨迹M的方程；
（2）若斜率为
1
2
的直线l与轨迹M交于C、D两点，点P(1，  
3
2
)为轨迹M上一点，记直线PC的斜率为k1，直线PD的斜率为k2，试问：k1+k2是否为定值？请证明你的结论．
下列命题中：
①若p、q为两个命题，则“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；
②若p为：存在x∈R，x2+2x+2≤0，则p为：任意x∈R，x2+2x+2＞0；
③已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的必要不充分条件；
④若a＜0，-1＜b＜0，则ab＞ab2＞a．
所有正确命题的序号是
 
．
有标号分别为1，2，3的红色卡片3张，标号分别为1，2，3的蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内（如图）．若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数为
 
．（用数字作答）

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