Question

19．已知关于x的不等式ax²+bx+c＞0解集为（1，3），则cx²+bx+a＜0的解集为（-∞，$\frac{1}{3}$）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 由于不等式ax²+bx+c＞0的解集为（1，2），可得：1，2是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根，且a＜0．利用根与系数的关系解不等式cx²+bx+a＜0即可．

解答 解：∵不等式ax²+bx+c＞0的解集为（1，3），
∴1，3是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根，且a＜0．
∴1+3=4=-$\frac{b}{a}$，1×3=3=$\frac{c}{a}$．
∴b=-4a，c=3a，
∴cx²+bx+a＜0化为3ax²-4ax+a＜0，
∴3x²-4x+1＞0，
∴（3x-1）（x-1）＞0，
解得：x＞1或x＜$\frac{1}{3}$；
∴不等式cx²+bx+a＜0的解集是：（-∞，$\frac{1}{3}$）∪（1，+∞），
故答案为：（-∞，$\frac{1}{3}$）∪（1，+∞）

点评 本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．