Question

9．求法向量为（1，-2）且与圆x²+y²-2y-4=0相切的直线方程．

Answer 1

分析 根据向量的法向量，求出切线的斜率，利用直线和圆相切的等价条件进行求解即可．

解答 解：∵直线的法向量为（1，-2），
∴直线的斜率k=$\frac{1}{2}$，
设切线方程为y=$\frac{1}{2}$x+b，即$\frac{1}{2}$x-y+b=0，
即x-2y+2b=0，
圆的标准方程为x²+（y-1）²=5，
圆心坐标为（0，1），半径R=$\sqrt{5}$，
当直线和圆相切时，圆心到直线的距离d=$\frac{|2b-2|}{\sqrt{1+{2}^{2}}}$=$\frac{|2b-2|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$，
即|2b-2|=5，
解得b=$\frac{7}{2}$或b=-$\frac{3}{2}$，
故切线方程为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$，y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．