Question

设a，b，c∈（0，

π

2

），且满足等式cosa=a，sin（cosb）=b，cos（sinc）=c，试比较其大小，并说明理由．

Answer 1

考点：不等式比较大小

专题：导数的综合应用,三角函数的求值,不等式的解法及应用

分析：利用导数研究函数的单调性：分别证明y=sinx-x为（0，

π

2

）上的减函数，f（x）=sin（cosx）-x为（0，

π

2

）上的减函数，g（x）=cos（sinx）-x为（0，

π

2

）上的减函数，即可得出．

解答： 解：先证明当x∈（0，

π

2

）时，sinx＜x．
设y=sinx-x，则y′=cosx-1＜0，∴y=sinx-x为（0，

π

2

）上的减函数，∴y＜sin0-0=0，即sinx＜x．
同理可证明f（x）=sin（cosx）-x为（0，

π

2

）上的减函数，g（x）=cos（sinx）-x为（0，

π

2

）上的减函数，
∵sina＜a，
∴cos（sina）-a=cos（sina）-cosa＞0，而cos（sinc）-c=0，
∴g（a）＞g（c），a、c∈（0，

π

2

），
∴a＜c
同理∵x∈（0，

π

2

）时，sinx＜x，∴sin（cosa）＜cosa，
∴sin（cosa）-a=sin（cosa）-cosa＜0，而sin（cosb）-b=0，
∴f（a）＜f（b），a、b∈（0，

π

2

），
∴a＞b
综上所述，b＜a＜c．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．