Question

已知向量

a

=（sinx，

1

2

），

b

=（cosx，-1），
（1）当

a

⊥

b

时，求x的值；
（2）求f（x）=（

a

+

b

）•

b

在[-

π

2

，0]上的最大值与最小值．

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）当

a

⊥

b

，可得

a

•

b

=0，利用坐标表示展开，即可求得x的值；
（2）先将f（x）=（

a

+

b

）•

b

用坐标表示，得到三角函数，再化简，利用三角函数的最值求出最值即得．

解答： 解：（1）∵

a

=（sinx，

1

2

），

b

=（cosx，-1），

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=0，即sinxcosx-

1

2

=0，整理得sin2x=1，所以2x=2kπ+

π

2

，k∈z．
解得x=kπ+

π

4

，k∈z．
（2）f（x）=（

a

+

b

）•

b

=

a

•

b

+

b

2=sinxcosx-

1

2

+cos²x+1=

1

2

sin2x-

1

2

+

1+cos2x

2

+1=

2

2

sin（2x+

π

4

）+1，
又x∈[-

π

2

，0]，可得2x+

π

4

∈[-

3π

4

，

π

4

]，所以sin（2x+

π

4

）∈[-1，

2

2

]，所以

2

2

sin（2x+

π

4

）+1∈[1-

2

2

，

3

2

]，
综上，f（x）=（

a

+

b

）•

b

在[-

π

2

，0]上的最大值与最小值分别为

3

2

，1-

2

2

．

点评：本题考查平面向量与三角函数性质的综合，三角恒等变换公式的应用，是向量与三角结合的一种较常见的方式，也是近几年高考常出的类型．