Question

16．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P-ABCD的体积为$\frac{8}{3}$，求该四棱锥的侧面积．

Answer 1

分析 （1）推导出AB⊥PA，CD⊥PD，从而AB⊥PD，进而AB⊥平面PAD，由此能证明平面PAB⊥平面PAD．
（2）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，则PO⊥底面ABCD，且AD=$\sqrt{2}a$，PO=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，由四棱锥P-ABCD的体积为$\frac{8}{3}$，求出a=2，由此能求出该四棱锥的侧面积．

解答 证明：（1）∵在四棱锥P-ABCD中，∠BAP=∠CDP=90°，
∴AB⊥PA，CD⊥PD，
又AB∥CD，∴AB⊥PD，
∵PA∩PD=P，∴AB⊥平面PAD，
∵AB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．
解：（2）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，
∵PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，平面PAB⊥平面PAD，
∴PO⊥底面ABCD，且AD=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{2}a$，PO=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
∵四棱锥P-ABCD的体积为$\frac{8}{3}$，
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}×{S}_{四边形ABCD}×PO$
=$\frac{1}{3}×AB×AD×PO$=$\frac{1}{3}×a×\sqrt{2}a×\frac{\sqrt{2}}{2}a$=$\frac{1}{3}{a}^{3}$=$\frac{8}{3}$，
解得a=2，∴PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2$\sqrt{2}$，PO=$\sqrt{2}$，
∴PB=PC=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，
∴该四棱锥的侧面积：
S_侧=S_△PAD+S_△PAB+S_△PDC+S_△PBC
=$\frac{1}{2}×PA×PD$+$\frac{1}{2}×PA×AB$+$\frac{1}{2}×PD×DC$+$\frac{1}{2}×BC×\sqrt{P{B}^{2}-（\frac{BC}{2}）^{2}}$
=$\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{8-2}$
=6+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．