Question

已知函数f（x）是定义域为（-∞，1]的增函数，
（1）若f(x-2)＜f(-

1

x

)，求x的取值范围；
（2）是否存在实数a，使得f（a-sinx）≤f（a²-sin²x）对一切x∈R恒成立？若不存在，请说明理由；若存在，求出a的值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的性质

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用函数的单调性，结合函数的定义域，转化为具体不等式，即可求x的取值范围；
（2）假设存在实数a，使得f（a-sinx）≤f（a²-sin²x）对一切x∈R恒成立，只需

a2-a≥(sin2x-sinx)max a2≤(1+sin2x)min

，由此结合三角函数的最值加以计算，即可确定存在实数a的值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）是定义域为（-∞，1]的增函数，f(x-2)＜f(-

1

x

)，
∴

x-2≤1 - 1 x ≤1 x-2＜- 1 x

，∴x≤-1-------（5分）
（2）假设存在实数a，使得f（a-sinx）≤f（a²-sin²x）对一切x∈R恒成立，
则

a-sinx≤a2-sin2x a2-sin2x≤1

即

a2-a≥sin2x-sinx a2≤1+sin2x

--（8分）
只需

a2-a≥(sin2x-sinx)max a2≤(1+sin2x)min

，-------（10分）
又sin2x-sinx=(sinx-

1

2

)2-

1

4

且-1≤sinx≤1，∴（sin²x-sinx）_max=2
又（1+sin²x）_min=1，
∴

a2-a≥2 a2≤1

-------（13分）
解得a=-1，
∴存在实数a=-1，使得f（a-sinx）≤f（a²-sin²x）对一切x∈R恒成立．-----（14分）

点评：本题探索不等式恒成立的k值是否存在，着重考查了函数的单调性、三角函数的最值的函数恒成立问题的讨论等知识，属于中档题．