Question

已知函数f（x）=

2

cos（x-

π

4

）-

2

sin（x-

π

4

），x∈R．
（1）求f（0）的值；
（2）若f（α）=

2 5

5

，f（β）=

6

5

，-

π

2

＜α＜0＜β＜

π

2

，求f（2α+β）．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,任意角的概念

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）由两角和的余弦公式化简解析式可得f（x）=2cosx，即可求f（0）的值；
（2）由已知可根据同角三角函数关系式先求sinα，sinβ的值，由两角和与差的余弦函数公式展开f（2α+β）代入即可求值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

2

cos（x-

π

4

）-

2

sin（x-

π

4

）=2cos（

π

4

+x-

π

4

）=2cosx，
∴f（0）=2cos0=2．
（2）∵f（α）=2cosα=

2 5

5

，f（β）=2cosβ=

6

5

，
∴cosα=

5

5

，cosβ=

3

5

，
∵-

π

2

＜α＜0＜β＜

π

2

，
∴sinα=-

1-cos2α

=-

2 5

5

，sinβ=

1-cos2β

=

4

5

，
∴f（2α+β）=2cos（2α+β）=2[（2cos²α-1）cosβ-2sinαcosαsinβ]=2×[-

15

25

×

3

5

+2×

2 5

5

×

5

5

×

4

5

]=

14

25

．

点评：本题主要考察了两角和与差的余弦函数公式、同角三角函数关系式的应用，属于基础题．