Question

设定义在R上的函数f（x）是最小正周期π的偶函数，f′（x）是函数f（x）的导函数，当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1； 当x∈（0，π） 且x≠

π

2

时，（x-

π

2

）f′（x）＞0，则函数y=f（x）-sinx在[-2π，2π]上的零点个数为（　　）

• A、2
• B、4
• C、5
• D、8

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,导数的运算

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件求出函数f（x）的性质，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：∵当x∈（0，π） 且x≠

π

2

时，（x-

π

2

）f′（x）＞0，
∴当

π

2

＜x＜π时，f′（x）＞0，函数递增，
当0＜x＜

π

2

时，f′（x）＜0，函数递减，
∵函数f（x）是最小正周期π的偶函数，
∴由y=f（x）-sinx=0得f（x）=sinx，
作出函数f（x）和y=sinx，在[-2π，2π]的图象如图：
则两个函数的交点个数为4个，
故函数的零点个数为4个，
故选：B

点评：本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数f（x）的性质，结合函数的导数和单调性之间的关系将函数零点转化为两个函数图象的交点问题是解决本题的关键．