Question

2．已知二次函数y=a（a+1）x²-（2a+1）x+1，当a=1，2，3，…，n，…时，其抛物线在x轴上截得线段长依次为d₁，d₂，…，d_n，…，则$\underset{lim}{n→∞}$（d₁+d₂+…+d_n）=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 当a=n时，y=n（n+1）x²-（2n+1）x+1，运用韦达定理得d_n=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{（2n+1）^{2}}{{n}^{2}（n+1）^{2}}-\frac{4}{n（n+1）}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，运用裂项相消求和可得d₁+d₂+…+d_n．由此能求出$\underset{lim}{n→∞}$（d₁+d₂+…+d_n）．

解答 解：当a=n时，y=n（n+1）x²-（2n+1）x+1，
由n（n+1）x²-（2n+1）x+1=0，
可得x₁+x₂=$\frac{2n+1}{n（n+1）}$，x₁x₂=$\frac{1}{n（n+1）}$，
由d_n=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{（2n+1）^{2}}{{n}^{2}（n+1）^{2}}-\frac{4}{n（n+1）}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴d₁+d₂+…+d_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$．
∴$\underset{lim}{n→∞}$（d₁+d₂+…+d_n）=$\underset{lim}{n→∞}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=1．
故选：A．

点评 本题考查函数的极限的运算，解题时要认真审题，注意裂项求和公式的合理运用，属于中档题．