Question

10．各项均为正数的数列{x_n}对一切n∈N^x均满足x_n+$\frac{1}{{x}_{n+1}}$＜2．证明：
（1）x_n＜x_n+1
（2）1-$\frac{1}{n}$＜x_n＜1．

Answer 1

分析 （1）通过不等式的基本性质，化简证明即可．
（2）利用数学归纳法的证明步骤，结合放缩法证明即可．

解答 证明：（1）因为x_n＞0，x_n+$\frac{1}{{x}_{n+1}}$＜2，
所以0＜$\frac{1}{{x}_{n+1}}$＜2-x_n，
所以x_n+1＞$\frac{1}{2-{x}_{n}}$，且2-x_n＞0．
因为$\frac{1}{2-{x}_{n}}$-x_n=$\frac{{x}_{n}^{2}-2{x}_{n}+1}{2-{x}_{n}}$=$\frac{（{x}_{n}-1）^{2}}{2-{x}_{n}}$．
所以$\frac{1}{2-{x}_{n}}$≥x_n．
所以x_n≤$\frac{1}{2-{x}_{n}}$＜x_n+1．即x_n＜x_n+1．
（2）下面用数学归纳法证明：．
①当n=1时，由题设x₁＞0可知结论成立；
②假设n=k时，x_k＞1-$\frac{1}{k}$；
当n=k+1时，由（1）得，x_k+1＞$\frac{1}{2-{x}_{k}}$＞$\frac{1}{2-（1-\frac{1}{k}）}$=$\frac{k}{k+1}$=1-$\frac{1}{k+1}$
由①，②可得x_n＞1-$\frac{1}{n}$．                     
下面先证明x_n≤1．
假设存在自然数k，使得x_k＞1，则一定存在自然数m，使得x_k＞1+$\frac{1}{m}$．
因为${x}_{k}+\frac{1}{{x}_{k+1}}$＜2，x_k+1＞$\frac{1}{2-{x}_{k}}$＞$\frac{1}{2-（1+\frac{1}{m}）}$=$\frac{m}{m-1}$，
x_k+2＞$\frac{1}{2-{x}_{k+1}}$＞$\frac{1}{2-（1+\frac{1}{m-1}）}$=$\frac{m-1}{m-2}$，
…x_k+m-1＞$\frac{m-（m-2）}{m-（m-1）}$=2，
与题设矛盾，所以，x_n≤1．
若x_k=1，则x_k+1＞x_k=1，根据上述证明可知存在矛盾．
所以x_n＜1成立．

点评 本题考查数列与不等式的证明方法，数学归纳法的应用，也可以利用反证法证明．