题目内容
已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且角A，B，C满足A＜B＜C，（a2+c2-b2）tanB=
ac
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若tanA=
，c=
，求△ABC的面积．
| 3 |
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若tanA=
| ||
| 2 |
| 3 |
考点：余弦定理
专题：三角函数的求值,解三角形
分析：（Ⅰ）利用余弦定理列出关系式，代入已知等式变形求出sinB的值，即可确定出角B的大小；
（Ⅱ）由tanA的值，利用同角三角函数间基本关系求出cosA与sinA的值，进而求出sinC的值，由c，sinA，sinC的值，利用正弦定理求出a的值，再利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．
（Ⅱ）由tanA的值，利用同角三角函数间基本关系求出cosA与sinA的值，进而求出sinC的值，由c，sinA，sinC的值，利用正弦定理求出a的值，再利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．
解答：
解：（Ⅰ）∵b2=a2+c2-2ac•cosB，且（a2+c2-b2）tanB=
ac，
∴tanB=
，
∴
=
，
∴sinB=
，
∴B=
或
，
∵A＜B＜C，
∴B=
；
（Ⅱ）∵tanA=
，A＜B＜C，
∴sinA=
，cosA=
，
∴sinC=sin（A+B）=sin（A+
）=sinAcos
+cosAsin
=
，
∵c=
，
=
，
∴a=
×（3
-
），
则S△ABC=
acsinB=
（3
-
）．
| 3 |
∴tanB=
| ||
| a2+c2-b2 |
∴
| sinB |
| cosB |
| ||
| 2ac•cosB |
∴sinB=
| ||
| 2 |
∴B=
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∵A＜B＜C，
∴B=
| π |
| 3 |
（Ⅱ）∵tanA=
| ||
| 2 |
∴sinA=
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
∴sinC=sin（A+B）=sin（A+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||||
| 6 |
∵c=
| 3 |
| a |
| sinA |
| c |
| sinC |
∴a=
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
则S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 10 |
| 2 |
| 3 |
点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．
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