Question

18．如图，已知AD是△ABC内角∠BAC的角平分线．
（1）用正弦定理证明：$\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}$；
（2）若∠BAC=120°，AB=2，AC=1，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）根据AD是∠BAC的角平分线，利用正弦定理，即可证明结论成立；
（2）根据余弦定理，先求出BC的值，再利用角平分线和余弦定理，即可求出AD的长．

解答 解：（1）∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，
根据正弦定理，在△ABD中，$\frac{sin∠BAD}{BD}$=$\frac{sin∠ADB}{BA}$，
在△ADC中，$\frac{sin∠DAC}{DC}$=$\frac{sin∠ADC}{AC}$，
∵sin∠ADB=sin（π-∠ADC）=sin∠ADC，
∴$\frac{sin∠BAD}{sin∠ADB}$=$\frac{DB}{AB}$，$\frac{sin∠DAC}{sin∠ADC}$=$\frac{DC}{AC}$，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{DB}{DC}$；
（2）根据余弦定理，cos∠BAC=$\frac{{BA}^{2}{+AC}^{2}{-BC}^{2}}{2•AB•AC}$，
即cos120°=$\frac{{2}^{2}{+1}^{2}{-BC}^{2}}{2×2×1}$，
解得BC=$\sqrt{7}$，
又$\frac{AB}{AC}$=$\frac{DB}{DC}$，
∴$\frac{DB}{DC}$=$\frac{2}{1}$，
解得CD=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，BD=$\frac{2\sqrt{7}}{3}$；
设AD=x，则在△ABD与△ADC中，
根据余弦定理得，
cos60°=$\frac{1{+x}^{2}{-（\frac{\sqrt{7}}{3}）}^{2}}{2•x•1}$，
且cos60°=$\frac{{2}^{2}{+x}^{2}{-（\frac{2\sqrt{7}}{3}）}^{2}}{2•x•2}$，
解得x=$\frac{2}{3}$，即AD的长为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了角平分线定理和正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．