Question

7．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}+4a，x＞3}\\{2x+{a}^{2}，x≤3}\end{array}\right.$，其中a＞0，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是[7，+∞）．

Answer 1

分析 根据指数函数性质可知y=3^x+4a，（x＞3）是增函数，其值域y＞27+4a，y=2x+a²（x≤3）也是增函数，其值域y≤9+a²．要使f（x）的值域为R，只需9+a²≥27+4a即可，从而可得实数a的取值范围．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}+4a，x＞3}\\{2x+{a}^{2}，x≤3}\end{array}\right.$，其中a＞0，
令y₁=3^x+4a，（x＞3）是增函数，其值域y₁＞27+4a，
y₂=2x+a²（x≤3）也是增函数，其值域y₂≤9+a²．
要使f（x）的值域为R，只需9+a²≥27+4a
解得：a≥7或a≤-3．
∵a＞0，
∴实数a的取值范围是[7，+∞）
故答案为：[7，+∞）．

点评 本题考查了分段函数值域的问题，抓住分段函数中的各段函数的单调性，求出值域是关键．属于中档题．