Question

8．在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，若AC=BD=2，且AC与BD成 60°，则四边形EFGH的面积为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{8}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 如图所示，由E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，利用三角形中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形，同理可得$EF=GH=\frac{1}{2}$AC，可得四边形EFGH是菱形．根据AC与BD成 60°，可得∠FEH=60°或120^°．可得四边形EFGH的面积．

解答 解：如图所示，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH∥FG∥BD，EH=FH=$\frac{1}{2}$AC=1．
∴四边形EFGH是平行四边形，
同理可得$EF=GH=\frac{1}{2}$AC=1，
∴四边形EFGH是菱形．
∵AC与BD成 60°，∴∠FEH=60°或120^°．
∴四边形EFGH的面积=$\frac{1}{2}E{F}^{2}sin6{0}^{°}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查了三角形中位线定理、平行四边形与菱形定义、异面直线所成的角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．