Question

20．已知等比数列{a_n}满足a₁=2，a₂=4（a₃-a₄）；数列{b_n}中b_n=3-log₂a_n
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式可得a_n，再利用对数的运算性质即可得出b_n．
（2）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，由a₁=2，a₂=4（a₃-a₄）可得2q=4×（2q²-2q³），
解得$q=\frac{1}{2}$，∴${a_n}=2•{（\frac{1}{2}）^{n-1}}={2^{2-n}}$，
∴b_n=3-log₂a_n=n+1（n∈N*）．
（2）${c_n}=\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}=\frac{1}{（n+1）（n+2）}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴${S_n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}=\frac{n}{2n+4}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．