Question

15．如图所示，在四棱锥A-BCDE中，AB⊥平面BCDE，四边形BCDE为矩形，F、G分别为AC、AE的中点，AB=BC=2，BE=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）证明：EF⊥BD；
（Ⅱ）求点A到平面BFG的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC的中点M，连接MF，ME，证明BD⊥平面MEF，即可证明EF⊥BD；
（Ⅱ）利用V_A-BFG=V_G-ABF，求点A到平面BFG的距离．

解答 （Ⅰ）证明：取BC的中点M，连接MF，ME，
∵AB⊥平面BCDE，MF∥AB，
∴MF⊥平面BCDE，又BD?平面BCDE，∴MF⊥BD．
在Rt△MBE与Rt△BED中，∵$\frac{MB}{BE}$=$\frac{BE}{ED}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴Rt△MBE∽Rt△BED．
∴∠BME=∠EBD，而∠BME+∠BEM=90°，于是∠BEM+∠EBD=90°，
∴ME⊥BD，
又∵MF∩ME=M，∴BD⊥平面MEF，
又∵EF?平面MEF，∴EF⊥BD．…（6分）
（Ⅱ）解：∵AB⊥平面BCDE，BE?平面BCDE，∴AB⊥BE，
∵四边形BCDE为矩形，∴BE⊥BC，
又∵AB∩BC=B，
∴BE⊥平面ABC，
∵G为AE的中点，
∴G到平面ABF的距离为$\frac{1}{2}$BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
S_△ABF=$\frac{1}{2}$×2×1=1，
在△BFG中，FG=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，BG=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，BF=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$，
∴S_△BFG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
设A到平面BFG的距离为d，
∵V_A-BFG=V_G-ABF，
∴$\frac{1}{3}$•S_△BFG•d=$\frac{1}{3}$•S_△ABF•$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴d=1，即A到平面BFG的距离为1．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查等体积方法的运用，属于中档题．