Question

某农场有废弃的猪圈，留有一面旧墙长12m，现准备在该地区重新建立一座猪圈，平面图为矩形，面积为112m²，预计
（1）修复1m旧墙的费用是建造1m新墙费用的25%；
（2）拆去1m旧墙用以改造建成1m新墙的费用是建1m新墙的50%；
（3）为安装卷门，要在围墙的适当处留出1m的空缺．试问：这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由题意，设矩形的长为xm，则宽为

112

x

m（x≥4

7

）；建1m新墙的费用为1个单位，总费用为y，从而写出函数表达式，利用基本不等式与函数的单调性求取值范围，从而求函数的最小值，最后转化为实际问题．

解答： 解：设矩形的长为xm，则宽为

112

x

m（x≥4

7

）；建1m新墙的费用为1个单位，总费用为y；
则当4

7

≤x≤12时，
y=25%•x+50%（12-x）+[2（x+

112

x

）-12-1]
=

7

4

x+

224

x

-20≥28

2

-20，
（当且仅当

7

4

x=

224

x

，即x=8

2

时，等号成立）；
当x＞12时，
y=25%•12+[2（x+

112

x

）-12-1]
=2x+

224

x

-23；
其在（12，+∞）上是增函数，
故y＞24+

56

3

-23=

59

3

＞28

2

-20，
故修复8

2

m的旧墙，将剩于的上旧墙改造成新墙，才能使所需的总费用最小．

点评：本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，同时考查了函数的单调性的应用与基本不等式的应用，属于中档题．