题目内容
已知x，y满足条件
，M（2，1），P（x，y），求：
（1）
的取值范围；
（2）x2+y2的最大值和最小值；
（3）
•
的最大值；
（4）|
|cos∠MOP的最小值．
|
（1）
| y+7 |
| x+4 |
（2）x2+y2的最大值和最小值；
（3）
| OM |
| OP |
（4）|
| OP |
考点：简单线性规划
专题：综合题,数形结合,不等式的解法及应用
分析：做出条件
，对应的区域，分析各个问题中的几何意义，结合图形，即可得出结论．
|
解答：
解：条件
，对应的区域如图所示，A（4，1），B（-3，2），C（-1，-6），则
（1）
表示P（x，y）与（-4，-7）连线的斜率，
由kPB=
=9，kPC=
=
，可得
的取值范围[
，9]；
（2）x2+y2表示P（x，y）与原点距离的平方，
由（0，0）到直线7x-5y-23距离的平方为
=
，
∴可得x2+y2的最大值为
，最小值为0；
（3）
•
=2x+y表示直线的纵截距，在A（4，1）处，
•
的最大值为9；
（4）
•
的最小值，在C（-1，-6）处取得为-8，
∵
•
=|
||
|cos∠MOP
∴|
|cos∠MOP的最小值为
=-
．
解：条件
|
（1）
| y+7 |
| x+4 |
由kPB=
| 2+7 |
| -3+4 |
| -6+7 |
| -1+4 |
| 1 |
| 3 |
| y+7 |
| x+4 |
| 1 |
| 3 |
（2）x2+y2表示P（x，y）与原点距离的平方，
由（0，0）到直线7x-5y-23距离的平方为
| 232 |
| 49+25 |
| 529 |
| 74 |
∴可得x2+y2的最大值为
| 529 |
| 74 |
（3）
| OM |
| OP |
| OM |
| OP |
（4）
| OM |
| OP |
∵
| OM |
| OP |
| OM |
| OP |
∴|
| OP |
| -8 | ||
|
8
| ||
| 5 |
点评：本题考查简单线性规划，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想，明确目标函数的几何意义是关键．
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