Question

12．已知在△ABC中，∠ACB=$\frac{π}{2}$，AB=2BC，现将△ABC绕BC所在直线旋转到△PBC，设二面角P-BC-A大小为θ，PB与平面ABC所成角为α，PC与平面PAB所成角为β，若0＜θ＜π，则（　　）

• A． $α≤\frac{π}{3}$且$sinβ≤\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $α≤\frac{π}{3}$且$sinβ＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $α≤\frac{π}{6}$且$β≥\frac{π}{3}$
• D． $α≤\frac{π}{6}$且$β＜\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 可设BC=a，可得AB=PB=2a，AC=CP=$\sqrt{3}$a，过C作CH⊥平面PAB，连接HB，则PC与平面PAB所成角为β=∠CPH，由CH＜CB，可得sinβ的范围；由二面角的定义，可得二面角P-BC-A大小为θ，即为∠ACP，设P到平面ABC的距离为d，根据等积法和正弦函数的定义和性质，即可得到PB与平面ABC所成角α的范围．

解答 解：在△ABC中，∠ACB=$\frac{π}{2}$，AB=2BC，
可设BC=a，可得AB=PB=2a，AC=CP=$\sqrt{3}$a，
过C作CH⊥平面PAB，连接HB，
则PC与平面PAB所成角为β=∠CPH，
且CH＜CB=a，
sinβ=$\frac{CH}{CP}$＜$\frac{a}{\sqrt{3}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
由BC⊥AC，BC⊥CP，
可得二面角P-BC-A大小为θ，即为∠ACP，
设P到平面ABC的距离为d，
由BC⊥平面PAC，
且V_B-ACP=V_P-ABC，
即有$\frac{1}{3}$BC•S_△ACP=$\frac{1}{3}$d•S_△ABC，
即$\frac{1}{3}$a•$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$a•$\sqrt{3}$a•sinθ=$\frac{1}{3}$d•$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$a•a，
解得d=$\sqrt{3}$sinθ，
则sinα=$\frac{d}{PB}$=$\frac{\sqrt{3}asinθ}{2a}$≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即有α≤$\frac{π}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查空间的二面角和线面角的求法，注意运用定义和转化思想，以及等积法，考查运算能力，属于中档题．