Question

4．已知A、B是函数y=f（x），x∈[a，b]图象的两个端点，M（x，y）是f（x）上任意一点，过M（x，y）作MN⊥x轴交直线AB于N，若不等式|MN|≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．
（1）若f（x）=x+$\frac{1}{x}$，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，证明：f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上“$\frac{1}{2}$阶线性近似”；
（2）若f（x）=x²在[-1，2]上“k阶线性近似”，求实数k的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据对勾函数的图象和性质，得到f（x）=x+$\frac{1}{x}$，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，满足|MN|≤$\frac{1}{2}$，进而得到答案．
（2）由已知可得 N和M的横坐标相同，根据|MN|=x+2-x²=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$及x∈[-1，2]，求出|MN|的范围，再由|MN|≤k恒成立，求得k的取值范围．

解答 证明：（1）若f（x）=x+$\frac{1}{x}$，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，则A（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）、B（2，$\frac{5}{2}$），
故直线AB的方程为：y=$\frac{5}{2}$，
则由|MN|=$\frac{5}{2}$-（x+$\frac{1}{x}$），
∴|MN|∈[0，$\frac{1}{2}$]，
故|MN|≤$\frac{1}{2}$，
故f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上“$\frac{1}{2}$阶线性近似”；
解：（2）由MN⊥x交直线AB于N，得 N 和M的横坐标相同．
对于区间[-1，2]上的函数f（x）=x² ，A（-1，1）、B（2，4），
则直线AB的方程为：y=x+2，
则有|MN|=x+2-x²=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴|MN|∈[0，$\frac{9}{4}$]．
再由|MN|≤k恒成立，可得 k≥$\frac{9}{4}$．
故实数k的最小值为$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查的知识点是新定义“k阶线性近似”，正确理解新定义“k阶线性近似”，是解答的关键．