题目内容
10．
如图，将OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M，N以每秒1个单位的速度分别从点A，C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．（1）点B的坐标为（6，4）；用含t的式子表示点P的坐标为（$t，\frac{2}{3}t$）；
（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜6）；并求t为何值时，S有最大值？
（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的$\frac{1}{3}$？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）由题意，OA=6，AB=4，根据直角坐标系的坐标关系，三角形相似比可得B，P的坐标．
（2）S△OMP=$\frac{1}{2}$×OM×PQ即可得答案．
（3）根据题意，求出直线ON的函数关系式为：y=$\frac{4}{3}x$．设点T的坐标为（0，b），求出直线MT的函数关系式，联立方程组，求解坐标．分割出的三角形，根据三角形面积公式，令△ONC面积为$\frac{1}{3}$，求解b的值是否存在即可得结论．
解答 解：（1）由题意，OA=6，AB=4，
∴B（6，4）；
延长NP角AB与Q，NB=6-t，则OQ=t，
设QP=x，则NP=4-x，
△OPQ和△NPB相似，即$\frac{6-t}{4-x}=\frac{t}{x}$
可得x=$\frac{2}{3}t$
∴P（$t，\frac{2}{3}t$），
（2）∵S△OMP=$\frac{1}{2}$×OM×$\frac{2}{3}t$，
∴S=$\frac{1}{2}$×（6-t）×$\frac{2}{3}t$=$-\frac{1}{3}$t2+2t=$-\frac{1}{3}（t-3）^{2}+3$（0＜t＜6）．
∴当t=3时，S有最大值．
（3）存在．
由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4），
则直线ON的函数关系式为：y=$\frac{4}{3}x$．
设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：y=$-\frac{b}{3}x+b$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x}\\{y=-\frac{b}{3}x+b}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3b}{4+b}\\ y=\frac{4b}{4+b}\end{array}\right.$
∴直线ON与MT的交点R的坐标为$（\frac{3b}{4+b}，\frac{4b}{4+b}）$．
∵S△OCN=$\frac{1}{2}$×4×3=6，∴S△ORT=$\frac{1}{3}$S△OCN=2．
①当点T在点O、C之间时，此时T记为T1，分割出的三角形是△OR1T1，
如图，作R1D1⊥y轴，D1为垂足，则S△OR1T1=$\frac{1}{2}$R1D1•OT=$\frac{1}{2}$•$\frac{3b}{4+b}$•b=2．
∴3b2-4b-16=0，b=$\frac{{2±2\sqrt{13}}}{3}$．∴b1=$\frac{{2+2\sqrt{13}}}{3}$，b2=$\frac{{2-2\sqrt{13}}}{3}$（不合题意，舍去）
此时点T1的坐标为（0，$\frac{{2+2\sqrt{13}}}{3}$）．
②当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是△R2NE，如图，设MT交CN于点E，
∵点E的纵坐标为4，∴由①得点E的横坐标为$\frac{3b-12}{b}$，
作R2D2⊥CN交CN于点D2，则
S△R2NE=$\frac{1}{2}$•EN•D2=$\frac{1}{2}$•$（3-\frac{3b-12}{b}）$•$（4-\frac{4b}{4+b}）$=$\frac{96}{b（4+b）}$=2．
∴b2+4b-48=0，b=$\frac{{-4±\sqrt{16+4×48}}}{2}=±2\sqrt{13}-2$．
∴b1=$2\sqrt{13}$-2，b2=$-2\sqrt{13}-2$（不合题意，舍去）．
∴此时点T2的坐标为（0，$2\sqrt{13}-2$）．
综上所述，在y轴上存在点T1（0，$\frac{2+2\sqrt{13}}{3}$），T2（0，$\sqrt{13}-2$）符合条件．
点评 本题考查了动点问题和三角形面积及其函数解析式的求法．讨论其坐标的存在性．属于难题．
如图，F1、F2分别为双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l交C于A、B两点，若C的离心率为$\sqrt{7}$，|AB|=|AF2|，则直线l的斜率为（ ）| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | C． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | D． | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ |
观察图中各正方形图案，每条边上有an个圆点，第an个图案中圆点的个数是an，按此规律推断出所有圆点总和Sn与n的关系式为（ ）| A． | ${S_n}=2{n^2}-2n$ | B． | ${S_n}=2{n^2}$ | C． | ${S_n}=4{n^2}-3n$ | D． | ${S_n}=2{n^2}+2n$ |
| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | 2 | D． | $\sqrt{6}$ |