Question

20．如图，F₁、F₂分别为双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F₁的直线l交C于A、B两点，若C的离心率为$\sqrt{7}$，|AB|=|AF₂|，则直线l的斜率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 由题意求得c=$\sqrt{7}$a，利用双曲线的定义，求得丨BF₁丨=2a，丨BF₂丨=4a，利用余弦定理求得cosBF₁F₂，即可求得tanBF₁F₂，求得直线l的斜率．

解答 解：由题意可知e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{7}$，c=$\sqrt{7}$a，
由双曲线的定义可知：丨AF₁丨-丨AF₂丨=2a，丨AB|=|AF₂|，
则丨BF₁丨=2a，丨BF₂丨-丨BF₁丨=2a，即丨BF₂丨=4a，
在△BF₁F₂中，由余弦定理可知：
cosBF₁F₂=$\frac{丨B{F}_{1}{丨}^{2}+丨{F}_{1}{F}_{2}{丨}^{2}-丨B{F}_{1}{丨}^{2}}{2丨B{F}_{1}丨丨{F}_{1}{F}_{2}丨}$=$\frac{（{2a）}^{2}+（2\sqrt{7}{a）}^{2}-（4a）^{2}}{2×2a×2\sqrt{7}a}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
则tanBF₁F₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
直线l的斜率$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选D．

点评 本题考查双曲线的定义，余弦定理，考查数形结合思想，属于中档题．