Question

10．△ABC中，边长a、b是方程${x^2}-2\sqrt{3}x+2=0$的两根，且2cos（A+B）=-1则边长c等于（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由已知可得cos（180°-C）=-$\frac{1}{2}$，结合三角形的内角和A+B+C=π及诱导公式可知cosC=$\frac{1}{2}$，根据方程的根与系数的关系，利用余弦定理，代入已知可求c．

解答 解：∵在△ABC中，2cos（A+B）=-1，A+B+C=180°，
∴2cos（180°-C）=-1，∴cos（180°-C）=-$\frac{1}{2}$．
即cosC=$\frac{1}{2}$，
∵a，b是方程${x^2}-2\sqrt{3}x+2=0$的两个根，
∴a+b=2$\sqrt{3}$，ab=2，
由余弦定理可知c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-2ab•\frac{1}{2}}$=$\sqrt{（a+b）^{2}-3ab}$=$\sqrt{6}$，
故选D．

点评 本题主要考查了三角形的内角和公式，三角函数的诱导公式，方程的根与系数的关系，余弦定理的综合运用，解决此类问题，不但要熟练掌握基本公式，基本运算，还要具备综合运用知识的推理的能力．