Question

设函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜

π

2

）满足f（x+2φ）=f（2φ-x），且对任意a∈R，在区间（a，a+2π]上f（x）有且只有一个最小值，则f（x）的单调递减区间为

 

．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：依题意，可知f（x）=cos（ωx+φ）的周期为T=

2π

ω

=2π，可求得ω=1，再由f（x+2φ）=f（2φ-x）知f（x）=cos（x+φ）的图象关于x=2φ对称，继而可确定φ的值，利用余弦函数的单调性质即可求得答案．

解答： 解：∵对任意a∈R，在区间（a，a+2π]上f（x）有且只有一个最小值，
∴f（x）=cos（ωx+φ）的周期为T=

2π

ω

=2π，
∴ω=1；
又f（x+2φ）=f（2φ-x），
∴f（x）=cos（x+φ）的图象关于x=2φ对称，
∴2φ+φ=kπ（k∈Z），
∴φ=

kπ

3

（k∈Z），又0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

3

．
∴f（x）=cos（x+

π

3

）
由2kπ≤x+

π

3

≤2kπ+π（k∈Z），得：2kπ-

π

3

≤x≤2kπ+

2π

3

（k∈Z），
∴f（x）的单调递减区间为[2kπ-

π

3

，2kπ+

2π

3

]（k∈Z）．
故答案为：[2kπ-

π

3

，2kπ+

2π

3

]（k∈Z）．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，确定φ的值是关键，也是难点，属于中档题．