Question

数列{a_n}满足a₁+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

n

=3ⁿ-2（n∈N^*，n≥1），则a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由数列{a_n}满足a₁+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

n

=3ⁿ-2（n∈N^*，n≥1），得a₁+

a2

2

+

a3

3

+…+

an-1

n-1

=3^n-1-2（n∈N^*，n≥2），由此能求出a_n=

1，n=1 2n•3n-1，n≥2

．

解答： 解：∵数列{a_n}满足a₁+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

n

=3ⁿ-2（n∈N^*，n≥1），①
∴a₁+

a2

2

+

a3

3

+…+

an-1

n-1

=3^n-1-2（n∈N^*，n≥2），②
∴①-②，得

an

n

=3ⁿ-3^n-1=

2

3

•3n-1=2•3^n-2，n≥2，
∴a_n=2n•3^n-2，
又a₁=3-2=1，不满足上式，
∴a_n=

1，n=1 2n•3n-1，n≥2

．
故答案为：

1，n=1 2n•3n-1，n≥2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．