Question

7．已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列．S_n为其前n项和，且满足a_n²=S_2n-1（n∈N*），b_n=a_n²+λa_n，若{b_n}为递增数列，则实数λ的范围为{λ|λ＞-4}．

Answer 1

分析 根据题意，设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，在a_n²=S_2n-1中，令n=1与n=2，计算可知数列的通项a_n=2n-1，即可得数列{b_n}的表示式，由二次函数的性质分析饿的$\frac{4-2λ}{8}$＜$\frac{3}{2}$，解可得λ的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
在a_n²=S_2n-1中，
令n=1可得：a₁²=S₁=a₁，即有a₁²=a₁，解可得a₁=1，
n=2时，a₂²=S₃=3a₂，即有a₂²=3a₂，解可得a₂=3，
则d=a₂-a₁=2，
则有a_n=2n-1，
b_n=a_n²+λa_n=（2n-1）²+λ（2n-1）=4n²-（4-2λ）n+1-λ，
若{b_n}为递增数列，则有$\frac{4-2λ}{8}$＜$\frac{3}{2}$，
解可得：λ＞-4，
即λ的取值范围是{λ|λ＞-4}；
故答案为：{λ|λ＞-4}．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差数列通项公式的求法，涉及数列与函数的关系，关键是求出数列{a_n}的通项公式．