题目内容
已知A，B，C是圆O：x2+y2=1上任意的不同三点，若
=3
+x
，则正实数x的取值范围为（ ）
| OA |
| OB |
| OC |
| A、（0，2） |
| B、（2，4） |
| C、（1，4） |
| D、（2，3） |
考点：平面向量的基本定理及其意义
专题：平面向量及应用
分析：由
=3
+x
，利用数量积性质可得
2=（3
+x
）2，展开并利用A，B，C是单位圆O上任意的不同三点，及cosθ的有界性，即可得出正实数x的取值范围．
| OA |
| OB |
| OC |
| OA |
| OB |
| OC |
解答：
解：∵A，B，C是单位圆O上任意的不同三点，若
=3
+x
，
∴
2=（3
+x
）2，
∴
2=9
2+6x
•
+x2
2，化为1=9+x2+6xcos∠BOC．
∵x＞0，
∴cos∠BOC=
，
∵-1＜cos∠BOC＜1，
∴-1＜
＜1，
解得2＜x＜4．
∴正实数x的取值范围为（2，4）．
故B．
| OA |
| OB |
| OC |
∴
| OA |
| OB |
| OC |
∴
| OA |
| OB |
| OB |
| OC |
| OC |
∵x＞0，
∴cos∠BOC=
| -8-x2 |
| 6x |
∵-1＜cos∠BOC＜1，
∴-1＜
| -8-x2 |
| 6x |
解得2＜x＜4．
∴正实数x的取值范围为（2，4）．
故B．
点评：本题考查了数量积的性质、余弦函数的有界性、单位向量、不等式的解法，属于中档题．
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