Question

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a-c）cosB=bcosC．
（1）求角B的大小；
（2）若b=

6

，a=2，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由正弦定理、两角和的正弦公式化简（2a-c）cosB=bcosC，根据内角的范围求出角B的值；
（2）由题意和正弦定理求出sinA，由b＞a和特殊角的正弦值求出角A，由内角和的定理求出角C，再代入三角形的面积公式求值即可．

解答： 解：（1）因为（2a-c）cosB=bcosC，
则由正弦定理得，（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）
因为A+B+C=π，所以B+C=π-A，则sin（B+C）=sinA，
代入上式得，cosB=

1

2

，
由0＜B＜π得，B=

π

3

，
（2）因为b=

6

，a=2，则由正弦定理得，

a

sinA

=

b

sinB

，
所以sinA=

asinB

b

=

2× 3 2

6

=

2

2

，
因为b＞a，所以A=

π

4

，则C=π-A-B=

5π

12

则△ABC的面积是S=

1

2

absinC=

1

2

×

6

×2×

6 + 2

4

=

3+ 3

2

．

点评：本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理和公式是解题的关键．