Question

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$，sinA=$\frac{3}{5}$
（1）求sinC的值；
（2）设D为AC的中点，若BD的长为$\frac{\sqrt{153}}{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$⇒bccosA=cacosB，即bcosA=acosB，利用正弦定理可得sin（A-B）=0，即A=B，再由sinA=$\frac{3}{5}$，求得cosA=$\frac{4}{5}$，于是可求sinC的值；
（2）D为AC的中点，BD的长为$\frac{\sqrt{153}}{2}$，则由$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$）⇒a²+c²+$\frac{8}{5}$ac=153①；在△ABD中，利用余弦定理由|BD|²=|AB|²+|AD|²-2|AB|•|AD|cosA⇒c²+${（\frac{a}{2}）}^{2}$-2c•$\frac{a}{2}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{153}{4}$②
联立①②，可解得：a=5，c=8，从而可求得△ABC的面积．

解答 解：（1）在△ABC中，∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$，

∴bccosA=cacosB，即bcosA=acosB，
由正弦定理得：sinBcosA=sinAcosB，即sin（A-B）=0，
∴A=B，即△ABC为等腰三角形．
又sinA=$\frac{3}{5}$，∴cosA=$\sqrt{1{-sin}^{2}A}$=$\frac{4}{5}$，
∴sinC=sin（π-A-B）=sin（π-2A）=sin2A=2sinAcosA=2×$\frac{3}{5}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{24}{25}$；
（2）∵D为AC的中点，|BD|=$\frac{\sqrt{153}}{2}$，
∴$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$），
∴${\overrightarrow{BD}}^{2}$=$\frac{1}{4}$（${\overrightarrow{BA}}^{2}$+2$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$+${\overrightarrow{BC}}^{2}$），即$\frac{153}{4}$=$\frac{1}{4}$（c²+2accosB+a²），整理得：a²+c²+$\frac{8}{5}$ac=153①；
在△ABD中，由余弦定理得：|BD|²=|AB|²+|AD|²-2|AB|•|AD|cosA，即c²+${（\frac{a}{2}）}^{2}$-2c•$\frac{a}{2}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{153}{4}$②
联立①②，解得：a=5，c=8，
∴△ABC的面积S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×5×8×$\frac{3}{5}$=12．

点评 本题考查平面向量数量积的运算，突出考查正弦定理与余弦定理的应用，考查数形结合思想与函数方程思想及综合运算能力，属于难题．